一、选择题解析
1. 题目
（1）已知函数\(f(x) = \ln(x+1) - x\)，求\(f(x)\)的单调区间。
解析
首先，对函数\(f(x)\)求导得\(f'(x) = \frac{1}{x+1} - 1 = \frac{-x}{x+1}\)。
当\(x > -1\)时，\(f'(x) < 0\)，所以\(f(x)\)在\((-1, +\infty)\)上单调递减；
当\(x < -1\)时，\(f'(x) > 0\)，所以\(f(x)\)在\((-\infty, -1)\)上单调递增。
因此，\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty, -1)\)，单调递减区间为\((-1, +\infty)\)。
答案
单调递增区间：\((-\infty, -1)\)；单调递减区间：\((-1, +\infty)\)。
二、填空题解析
1. 题目
（1）设\(a > 0\)，\(b > 0\)，若\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 3\)，则\(a^2 + b^2\)的最小值为多少？
解析
由柯西不等式得\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2\)。
又因为\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 3\)，所以\(a^2 + b^2 \geq 2^2 = 4\)。
当且仅当\(a = b\)时，等号成立。
因此，\(a^2 + b^2\)的最小值为4。
答案
最小值为4。
三、解答题解析
1. 题目
（1）已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1\)，求\(f(x)\)的极值。
解析
首先，对函数\(f(x)\)求导得\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 4\)。
令\(f'(x) = 0\)，解得\(x_1 = 1\)，\(x_2 = \frac{2}{3}\)。
当\(x < \frac{2}{3}\)时，\(f'(x) > 0\)，所以\(f(x)\)在\((-\infty, \frac{2}{3})\)上单调递增；
当\(\frac{2}{3} < x < 1\)时，\(f'(x) < 0\)，所以\(f(x)\)在\((\frac{2}{3}, 1)\)上单调递减；
当\(x > 1\)时，\(f'(x) > 0\)，所以\(f(x)\)在\((1, +\infty)\)上单调递增。
因此，\(f(x)\)的极大值为\(f(\frac{2}{3}) = \frac{23}{27}\)，极小值为\(f(1) = 3\)。
答案
极大值为\(\frac{23}{27}\)，极小值为3。
四、附加题解析
1. 题目
（1）已知函数\(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)，求\(f(x)\)的值域。
解析
首先，对函数\(f(x)\)进行化简得\(f(x) = x + 1\)。
因为\(x - 1 \neq 0\)，所以\(f(x)\)的定义域为\(\{x | x \neq 1\}\)。
又因为\(x + 1\)的值域为\(\mathbb{R}\)，所以\(f(x)\)的值域为\(\mathbb{R}\)。
答案
值域为\(\mathbb{R}\)。