高考数学作为我国高考的重要组成部分，历来备受考生和家长的关注。其中，“23超越”作为一道极具挑战性的难题，让许多考生感到头疼。本文将深入剖析“23超越”的解题思路，帮助大家轻松突破数学瓶颈。
一、理解“23超越”的背景
“23超越”源自于2019年全国高考数学卷（浙江卷）的理科数学第23题。这道题以超越函数为背景，考查了函数与方程、不等式、数列等知识，具有一定的难度。以下是题目原文：
设函数\(f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\)，数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=f(a_n)\)，\(n\in\mathbb{N}^*\)。求证：对任意\(n\in\mathbb{N}^*\)，有\(a_n>2\)。
二、解题思路
1. 理解函数性质
首先，我们需要理解函数\(f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\)的性质。通过观察可以发现，当\(x>1\)时，\(f(x)>0\)；当\(x<1\)时，\(f(x)<0\)。这意味着函数在\(x=1\)处取得极小值。
2. 分析数列性质
接下来，我们要分析数列\(\{a_n\}\)的性质。由于\(a_1=2\)，且\(f(x)>0\)当\(x>1\)时，我们可以推断出\(a_2=f(a_1)>f(2)>0\)。同理，\(a_3=f(a_2)>f(a_1)>0\)，以此类推。因此，我们可以得出结论：对任意\(n\in\mathbb{N}^*\)，有\(a_n>0\)。
3. 利用不等式证明
为了证明\(a_n>2\)，我们可以构造不等式：
\[ a_{n+1}=f(a_n)=\frac{1}{a_n-1}-\frac{1}{a_n+1}=\frac{2}{a_n^2-1}-\frac{2}{(a_n-1)(a_n+1)}=\frac{2}{a_n^2-1}-\frac{2}{a_n^2-1+2a_n-1}=\frac{2}{a_n^2-1}-\frac{2}{a_n^2+2a_n-2} \]
由于\(a_n>0\)，我们可以得到：
\[ a_{n+1}=\frac{2}{a_n^2-1}-\frac{2}{a_n^2+2a_n-2}>\frac{2}{a_n^2-1}-\frac{2}{a_n^2-1}=0 \]
因此，\(a_{n+1}>0\)。接下来，我们需要证明\(a_{n+1}>2\)。
4. 构造辅助函数
为了证明\(a_{n+1}>2\)，我们可以构造辅助函数\(g(x)=x^2-4x+5\)。通过观察可以发现，\(g(x)\)在\(x=2\)处取得极小值，且\(g(2)=1\)。因此，当\(x>2\)时，\(g(x)>0\)。
接下来，我们将\(a_{n+1}\)与\(g(x)\)进行比较：
\[ a_{n+1}=\frac{2}{a_n^2-1}-\frac{2}{a_n^2+2a_n-2}=\frac{2(a_n^2+2a_n-2)-2(a_n^2-1)}{(a_n^2-1)(a_n^2+2a_n-2)}=\frac{4a_n-2}{(a_n^2-1)(a_n^2+2a_n-2)} \]
由于\(a_n>2\)，我们可以得到：
\[ a_{n+1}=\frac{4a_n-2}{(a_n^2-1)(a_n^2+2a_n-2)}>\frac{4a_n-2}{(a_n^2-1)^2}=\frac{4a_n-2}{(a_n-1)^2(a_n+1)} \]
由于\(a_n>2\)，我们可以得到：
\[ a_{n+1}=\frac{4a_n-2}{(a_n-1)^2(a_n+1)}>\frac{4a_n-2}{(a_n-1)^2(a_n-1)}=\frac{4a_n-2}{(a_n-1)^3} \]
因此，我们只需要证明\(\frac{4a_n-2}{(a_n-1)^3}>2\)。
5. 证明不等式
为了证明\(\frac{4a_n-2}{(a_n-1)^3}>2\)，我们可以构造不等式：
\[ \frac{4a_n-2}{(a_n-1)^3}>2 \Leftrightarrow 4a_n-2>2(a_n-1)^3 \Leftrightarrow 4a_n-2>2(a_n^3-3a_n^2+3a_n-1) \Leftrightarrow 2a_n^3-10a_n^2+10a_n-1>0 \]
由于\(a_n>2\)，我们可以得到：
\[ 2a_n^3-10a_n^2+10a_n-1>2(2)^3-10(2)^2+10(2)-1=0 \]
因此，\(\frac{4a_n-2}{(a_n-1)^3}>2\)，即\(a_{n+1}>2\)。
6. 总结
通过以上步骤，我们证明了对于任意\(n\in\mathbb{N}^*\)，有\(a_n>2\)。这也就意味着，对于“23超越”这道题，我们可以通过理解函数性质、分析数列性质、利用不等式证明等步骤，轻松突破数学瓶颈。
三、总结
本文以“23超越”这道题为例，详细介绍了解题思路和证明过程。通过理解函数性质、分析数列性质、利用不等式证明等步骤，我们可以轻松突破数学瓶颈。希望本文对广大考生有所帮助！